函数值域的求法 三角函数值域的求法

函数值域的12种求法？

函数值域的求法：

函数值域的求法 三角函数值域的求法

函数值域的求法 三角函数值域的求法

①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：

的形式；

②逆求法（反求法）：通过反解，用

来表示

，再由

的取值范围，通过解不等式，得出

的取值范围；常用来解，型如：

；④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；

⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；

⑥基本不等式法：转化成型如：

，利用平均值不等式公式来求值域；

⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

如何求函数值域？（方法）

值域是函数值所在的。一旦函数的定义域和对应法则确定了，函数的值域也就随之确定。下面介绍几种常用的求函数值域的方法:

1.配方法

2.区间划分法

3.不等式比较法

4.函数变换法

5.换元法

6.

1．观察法

用于简单的解析式。

y＝1－√x≤1,值域(－∞,

1]

y=(1

x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(－∞,-1)∪(-1,＋∞).

2.配方法

多用于二次(型)函数。

y＝x^2-4x

3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1,

＋∞）

y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,＋∞）

3.

换元法

多用于复合型函数。

通过换元，使高次函数低次化，分式函数整式化，无理函数有理化，超越函数代数以方便求值域。

特别注意中间变量（新量）的变化范围。

4.

不等式法

用不等式的基本性质，也是求值域的常用方法。

y=（e^x

1）/(e^x-1),

(0

0

1

0

1/(e^x-1)>1/(e-1),

y=1

2/(e^x-1)>1

2/(e-1).值域(1

2/(e-1),＋∞).

5.

最值法

如果函数f(x)存在值M和最小值m.那么值域为[m,M].

因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的.

6.

反函数法

有的又叫反解法.

函数和它的反函数的定义域与值域互换.

如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求.那么,我们通过求后者而得出前者.

7.

单调性法

若f(x)在定义域[a,

b]上是增函数,则值域为[f(a),

f(b)].减函数则值域为[f(b),f(a)]

1．观察法

用于简单的解析式。

y＝1－√x≤1,值域(－∞,

1]

y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(－∞,-1)∪(-1,＋∞).

2.配方法

多用于二次(型)函数。

y＝x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1,

＋∞）

y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,＋∞）

3.

换元法

多用于复合型函数。

通过换元，使高次函数低次化，分式函数整式化，无理函数有理化，超越函数代数以方便求值域。

特别注意中间变量（新量）的变化范围。

4.

不等式法

用不等式的基本性质，也是求值域的常用方法。

y=（e^x+1）/(e^x-1),

(0

0

1

0

1/(e^x-1)>1/(e-1),

y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1).值域(1+2/(e-1),＋∞).

5.

最值法

如果函数f(x)存在值M和最小值m.那么值域为[m,M].

因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的.

6.

反函数法

有的又叫反解法.

函数和它的反函数的定义域与值域互换.

如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求.那么,我们通过求后者而得出前者.

7.

单调性法

若f(x)在定义域[a,

b]上是增函数,则值域为[f(a),

f(b)].减函数则值域为[f(b),f(a)]

函数值域怎么求?

函数的值域问题及解法

值域的概念：

函数y=f(x)的值域是函数值的取值范围,用表示为{y│y=f(x),x∈A}.这里A是函数的定义域,由此可见,它与定义域密切相关.

值域的几何意义是函数图象上点的纵坐标的,也可以说成是函数图象纵向的分布范围.

一般来说,求值域比求定义域困难得多.求值域要根据解析式的结构特征选择适当的方法,具有较强的灵活性和一定的技巧性.

1．观察法

用于简单的解析式.

y=1-√x≤1,值域(-∞, 1]

y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(-∞,-1)∪(-1,+∞).

2．配方法

多用于二次(型)函数.

y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1,+∞）

y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,+∞）

3．换元法

多用于复合型函数.

通过换元,使高次函数低次化,分式函数整式化,无理函数有理化,超越函数代数以方便求值域.

特别注意中间变量（新量）的变化范围.

y=-x+2√( x-1)+2

令t=√(x-1),则t≥0,x=t^2+1.

y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤2,值域(-∞, 2].

4．不等式法

用不等式的基本性质,也是求值域的常用方法.

y=(e^x+1)/(e^x-1), (0

函数求值域的17种方法

一.观察法

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2-3x)的值域。

二.反函数法

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

三.配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

例3：求函数y=√(-x2+x+2)的值域。

四.判别式法

若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。

五.最值法

对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。

例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。

六.图象法

通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。

例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。点拨：根据的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。

七.单调法

利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

例7求函数y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。

八.换元法

以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。

例8求函数y=x-3+√2x+1的值域。

九.构造法

根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。

例9求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。

十.比例法

对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。

例10已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。

十一.利用多项式的除法

例11求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。

十二.不等式法

例12求函数Y=3x/(3x+1)的值域。

如何求函数的值域

其没有固定的方法和模式。但常用方法有： （1）直接法：从变量x的范围出发，推出y=f（x）的取值范围； （2）配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F（x）=af^（x）+bf（x）+c的函数的值域问题，均可使用配方法 （3）反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过反函数的定义域，得到原函数的值域。形如y=cx+d/ax+b（a≠0）的函数均可使用反函数法。此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解。 （4）换元法：运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。形如y=ax+b±根号cx+d（a、b、c、d均为常数，且a≠0）的函数常用此法求解。举些例子吧！ （1）y=4-根号3+2x-x^ 此题就得用配方法:由3+2x-x^≥0,得-1≤x≤3. ∵y=4-根号-1(x-1)^+4,∴当x=1时,ymin=4-2=2. 当x=-1或3时,ymax=4. ∴函数值域为[2,4] (2)y=2x+根号1-2x 此题用换元法: 令t=根号1-2x(t≥0),则x=1-t^/2 ∵y=-t^+t+1=-(t-1/2)^+5/4, ∵当t=1/2即x=3/8时,ymax=5/4,无最小值. ∴函数值域为(-∞,5/4) (3)y=1-x/2x+5 用分离常数法 ∵y=-1/2+7/2/2x+5, 7/2/2x+5≠0, ∴y≠-1/2

函数是中学数学的核心内容，它不仅与方程和不等式有着本质的内在联系，而且作为一种重要的思想方法，在所有内容当中都能够看到它的作用，这就决定了在高考当中的重要地位。函数的值域就是函数值的取值范围，它虽然由函数的定义域及对应法则完全确定，但是确定值域仍是较为困难的，这些使函数的值域成为历年高考必考的重点之一。而如何求函数的的值域却令大多数同学头疼，因为函数千变万化，各不相同，对函数值域的求法也各种各样。常用的求函数值域的方法有：配方法、换元法、图像法、利用函数的单调性法等，方法众多。有的同学学会了各种方法，却不清楚每种方法适合什么样的函数，所以在解题时各种方法乱套，或者方法一种一种的去尝试。导致这种情况的根源是没有把握好函数的特点，只是注重了方法。现在高中阶段所接触的函数主要是基本初等函数，比如一次函数、二次函数、反比例函数等，再其他一些就是由基本初等函数构成的复合函数。为了避免学生在学习函数的值域过程中出现上述问题，我认为教师在讲授函数的值域时应抓住基本初等函数的特点，重点讲解好如何利用基本初等函数的定义域及性质来求解函数的值域。这样学生就通过函数的形式、类别来寻求解决值域问题的方法，符合形象思维的范畴。正如伟大教育家苏霍姆林斯基所说的“直观性是一种发展观察力和发展思维的力量，它能给认识带来一定情绪色彩。” 形象思维是思维的主要形式之一，主要是指人们获得表象，根据表象创造的思维活动，没有形象思维就没有创新。现列出我讲解《函数的值域》时重点部分的教学实录，供大家批评指正。

师：题组1：已知函数，当①②③时，求函数的值域。

（学生思考解答）

生：①，②，③，

师：你是怎样得到的？（步步紧逼，让学生将自己的思维过程在课堂上展示出来，让所有同学加以辨析和借鉴）

生1：将和代入，将和代入，……就得到了。

师：生1的正确吗？解法好吗？（鼓励其他同学对已有的方法进行质疑，提高学生的辨析能力以及对真理的向往心理）

生2：正确，但解法不好，他的是蒙对的。如果的图像不是单纯上升，那么生1的做法可能就会出错。我认为根据的图像来解决问题更好一些。

师：如何利用图像？（迫使学生发表自己的看法）

生2：画出的图像，观察当、和时，寻找满足题意的点的纵坐标的范围，于是得到值域。

师：好一个“满足题意的点的纵坐标的范围”，（适时地给学生以鼓励，让学生有一股成就感，这样会更好的调动他们思考的积极性）这就是的值域在坐标系中的体现。利用函数的几何图像来研究、解决代数问题，非常形象而且直观，我们称这种思想方法为……

生（齐）：数形结合。

师：试看下一个问题：试求的值域。

生3：把看作一个整体，，，

师：好，在解决下一题组：求下列函数的值域：①；②，（在学生自己逐渐发现的基础上，通过难易适中的题目学生逐步深入）

生4：①，②，

师：研究、解决这类问题的关键在于寻找突破口，此类题目的突破口在何处？

生5：我认为，首先研究根式下面的式子，研究好了它的范围，通过的图像，至于就出来了。突破口就是根式下面的表达式，把这个表达式看成一个整体来研究。（简单的提示后让学生自我归纳针对此类题目的解法，迫使其努力思考）

师：像刚才生5所说的，如果我们再用一个未知量来代替根式下的表达式，那么这种方法可以称之为……

生（齐）：换元法。

教师用投影仪展示下一题组：求下列函数的值域。（难度再次加深，但是在学生自我研究自我发现的基础上，解决这些问题不再困难）

①②③

求函数值域的几种基本方法

求函数值域的常用方法有：配方法，分离常数法，判别式法，反解法，换元法，不等式法，单调性法，函数有界性法，数形结合法，导数法。

一、配方法

二、反解法

三、分离常数法

四、判别式法

五、换元法

六、不等式法

七、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

八、函数单调性法

先确定函数在其定义域（或定义域的某个子集上）的单调性，再求出函数值域的方法。考虑这一方法的是某些由指数形式的函数或对数形式的函数构成的一些简单的初等函数，可直接利用指数或对数的单调性求得；还有一些形如，看a,d是否同号，若同号用单调性求值域，若异号则用换元法求值域；还有的在利用重要不等式求值域失败的情况下，可采用单调性求值域。

九、数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式、直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

十、导数法

利用导数求闭区间上函数的值域的一般步骤：(1)求导，令导数为0；(2)确定极值点，求极值；(3)比较端点与极值的大小，确定值与最小值即可确定值域。

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。