高考常见的裂项相消的公式_高中数学裂项相消公式

线性回归方程公式是什么呢？裂项相消是什么呢？

1/[n(n+1)]=(1/n)- [1/(n+1)],1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]等等。

高三的线性回归方程公式是：b=(x1y1+x2y2+...xnyn-nXY)/(x1+x2+...xn-nX)。把通项公式写成前后能够消去的形式，裂项后消去中间的部分，达到求和目的一种数列求和方法就是裂项相消。

高考常见的裂项相消的公式_高中数学裂项相消公式

高考常见的裂项相消的公式_高中数学裂项相消公式

高考常见的裂项相消的公式_高中数学裂项相消公式

1.线性回归方程公式：b=(其次是三次裂项公式:a3+b3+c3=d3(a,b,c,d>0)。这是定义"三次裂项"的公式,它的意思给定3个正整数,可以求出它们之间最小正整数的立方和。通过解这个公式,可以得出结论:所求的数等于两个正整数之间最小正整数的立方根。例如:a=3,b=4,c=5,则d=6。x1y1+x2y2+...xnyn-nXY)/(x1+x2+...xn-nX)。2、裂项相消公式（1）1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]。（2）1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]。（3）1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}。（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)。（5）n·n!=(n+1)!-n!

常用的八个裂项公式

解：an=1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]（裂项）

常用的八个裂项公式如下：

1/[n(n+1)]=（1/n）-[1/(n+1)]；1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]；

1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}；

1/[√n+√（n+1）]=√（n+1）-√n；1/（√n+√n+k）=（1/k）·[√（n+k）-√n]

扩展资料：

事实上它可以通过不动点方程解的个数来判断这个数列如何构成等比、等数列（我们有时也称之为特征根）甚至可以通过虚数根来判断数列是否有周期性及其周期。

但是我觉得当上述这些东西需要在题目里被呈现的时候，往往这道题目的通项已经可以求出来了，在经过对数列的预处理以后，事实上对通项的求解也不会那么难想，说白了上述那些结论的证明是十分简单的。

我觉得单纯的记忆还不如实打实的去自己发现，在解题的过程中自己去证明，这样对题目的完整性思路有所帮助。这也是我自己高考过来的一些想法，所以我在分享的过程中，会更结合实际解题而不是一味的把高大上的结论讲解和证明。

高中常见裂项公式归纳是什么？

（1）1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]

（2）1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n所以+1)]

（3）1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}

（5） n·n!=(n+1)!-n!

（7）1/[√n+√（n+1）]=√（n+1）-√n

（8）1/（√n+√n+k）=（1/k）·[√（n+an=a1.22+3+4+…+n=2k）-√n]

裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。 通项分解（裂项） 倍数的关系。

扩展资料：

在等数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：

(1)当 a1>0，d<0时，满足{an}的项数m使得Sm取值。

(2)当 a1<0，d>0时，满足{an}的项数m使得Sm取最小值。

求数列的、最小项的方法：

① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3

② (an>0) 如an=

③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= an^2+bn+c(a≠0)

裂项相消的公式秒杀

[√n

2、裂项抵消分为“裂”和“裂和”，

3、“裂”就是我们前边讲过的这种类型，分母为两个自然数的乘积，分子是分母乘式中乘数与被乘数的。

4、“裂和”分母为两个自然数的乘积，分子是分母乘式中乘数与被乘数的和。

在很多个分数的计算中，裂项抵消是重要的一种方法。符号千万= n/(n+1)别搞错了。

裂项相消，存头留尾，注意符号，题目就迎刃而解。

带根号的裂项相消公式

两边同时乘以1/2

常见的有：

一般的有：

裂项相消法是把一个数列的每一项分裂为两项之的形式，从而求数列之和的方法. 根据数列类型的不同。该类型的特点是分母是两个根式之和，这两个根式的平方为常数，通过分母有理化来达到消项的目的，有时在证明不等式时，常把分母缩放成两个根式之和，来达到消项化简的目的。

裂项相消就是根据数列通项公式的特点，把通项公式写成前后能够消去的形式，第四个，关键在于(a-b)=(√a-√b）(√a+√b）裂项后消去中间的部分，达到求和目的一种数列求和方法。先根据通项公式找裂项公式，然后逐项写开，消去。

裂相相消，错位相减，倒序相加分别适用于哪些形式的数列？

十一、17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等比数列。

1分组求和法:

就是将数列的项分成二项，而这两项往往是常数或是等（比）数列，它们的和当然就好求了。

例如：求1/2+3/4+7/8+9/16+......+(2^n-1)/(2^n)的话，

可以将通项(2^n-1)/(2^n)写成1-2^(-n)这样就变成每一项都是1-X（X为通项）的公式

对于通项-2^(-n)是一个等比数列，这个你就可以直接套用公式了

2数列累加法

逐累加法

例3 已知a1=1, an+1=an+2n 求an

解：由递推公式知：a2-a1=2, a3-a2=22,a4-a3=23, …an-an-1=2n-1

将以上n-1个式子相加可得

an=a1+2+22+23+24+…+2n-1=1+2+22+23+…+2n-1=2n-1

注：对递推公式形如an+1=an+f(n)的数列均可用逐累加法

求通项公式，特别的，当f(n)为常数时，数列即为等数列。

逐商叠乘法

例4 已知a1=1, an=2nan-1(n≥2)求an

解：当n≥2时， =22, =23, =24,… =2n

将以上n-1个式子相乘可得

当n=1时，a1=1满足上式

故an=2 (n∈N)

注：对递推公式形如an+1an=g(n)的数列均可用逐商叠乘法求通项公式，特别的，当g (n)为常数时，数列即为等比数列

3裂项求和：

当一项可以拆时需要注意是否为了考察裂项求和，最有名的就是分数：1/2+1/6+1/12+……+1/n（n+1）

可拆为 1-1/2+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+……+（1/n-1/（n+1））

4倒序相加：

最简单的是等数列用倒序相加求和：

=1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/99-1/100)(裂项）

=1+1-1/2+1/2-1/3+...-1/99+1/99-1/100(消元）

=2-1/100

=199/100

一、基本概念：

1、 数列的定义及表示方法：

2、 数列的项与项数：

3、 有穷数列与无穷数列：

4、 递增（减）、摆动、循环数列：

5、 数列{an}的通项公式an：

6、 数列的前n项和公式Sn:

8、 等比数列、公比q、等比数列的结构：

二、基本公式：

三、9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=

四、10、等数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。

五、11、等数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn=

当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。

六、12、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k

(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)

七、13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1 (是关于n的正比例式)；

当q≠1时，Sn=Sn=

三、有关等、等比数列的结论

八、14、等数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等数列。

十、16、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则

十二、18、两个等数列{an}与{bn}的和的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等数列。

十三、19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列

{an bn}、 、 仍为等比数列。

十四、20、等数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等数列。

十五、21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。

十六、22、三个数成等的设法：a-d,a,a+d；四个数成等的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d

十七、23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；

四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？)

十九、25、{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn} (c>0且c1) 是等数列。

二十、26. 在等数列 中：

（1）若项数为 ，则

（2）若数为 则， ，

二十一、27. 在等比数列 中：

（1） 若项数为 ，则

（2）若数为 则，

四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。

二十二、28、分组法求数列的和：如an=2n+3n

29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n

二十三、30、裂项法求和：如an=1/n(n+1)

二十四、31、倒序相加法求和：如an=

二十五、32、求数列{an}的、最小项的方法：

① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3

② (an>0) 如an=

③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=

二十六、33、在等数列 中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解：

(1)当 >0,d<0时，满足 的项数m使得 取值.

(2)当 <0,d>0时，满足 的项数m使得 取最小值。

在解含的数列最值问题时,注意转化思想的应用

5错位相减：

这个可以求出和与求通项公式和首相的关系，常用与等比数列，Sn乘上q（等比的比例常数） 如：Sn（数列和）=1+2+4+8+……2^(n-1)+2^n 左右乘上2：2Sn=2+4+8+16+……2^n+2^(n+1) 用后式-前式:Sn=2^(n+1)-1 这就得出了总和与通项式的关系 。

分组求和：此为裂项求和的反运算，但是没有裂项求和用的频繁，那个是有分式首先就想到裂项求和，如1+3+4+9+……+2^n+3^n 实际上可以看成两个或多个数列，但有时混在一起而且条件不充分时不容易发现。

裂项相消法最常见的就是an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

Sn=1/12+1/23+.+1/n(n+1)

=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+.+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)（中间相消,只剩首尾两项）

=1-1/(n+1)

错位相减法

这个在求等比数列求和公式时就用了

1/2Sn=1/4+1/8+.+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同,这样写看的更清楚些）

两式相减

1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)

SSn=1/2+1/4+1/8+.+1/2^nn=1-1/2^n

倒序相加法

这个在证明等数列求和公式时就应用了

Sn=1+2+..+n

Sn=n+n-1+.+2+1

两式相加

2Sn=(1+n)+(2+n-1)+...+(n+1)

Sn=n(n+1)/2

裂项相消法

5、 n·n!=(n+1)!-n!

1裂项法求和编辑这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.。（1）1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]（2）1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]（3）1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)（5） n·n!=(n+1)!-n!（6）1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n 基本裂项式

7、 等数列、公d、等数列的结构：

+k)]

分母三个数相乘的裂项公式2示例编辑【例1】【分数裂项基本型】求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.解：an=1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]（裂项）则 Sn=1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)…+(1/n）- [1/(n+1)]（裂项求和）= 1-1/(n+1)= n/(n+1)【例2】【整数裂项基本型】求数列an=n(n+1) 的前n项和.解：an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项）则 Sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项求和）= [n(n+1)(n+2)]/3【例3】1/(1×4)+1/(4×7)+1/(7×10)+……+1/(×94)使用裂项公式将每个分式展开成两个分数。原式=1/3 [（1-1/4）+（1/4-1/7）+（1/7-1/10）+……+（1/-1/94）]=1/3(1-1/94)=31/943小结编辑此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。注意： 余下的项具有如下的特点1余下的项前后的位置前后是对称的。2余下的项前后的正负性是相反的。易错点：注意检查裂项后式子和原式是否相等，典型错误如：1/(3×5)=1/3-1/5（等式右边应当除以2）附：数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。(关键是找数列的通项结构)1、分组法求数列的和：如an=2n+3n2、错位相减法求和：如an=n·2^n3、裂项法求和：如an=1/n(n+1)4、倒序相加法求和：如an= n5、求数列的、最小项的方法：① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3② (an>0) 如an=③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= an^2+bn+c(a≠0)6、在等数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当 a1>0,d<0时，满足{an}的项数m使得Sm取值.(2)当 a1<0,d>0时，满足{an}的项数m使得Sm取最小值.7、对于1/n+1/(n+1)+1/(n+2)……+1/(n+n)的算式同样适用。[1]

裂项相消公式

a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)

1、1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

2、1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

3、1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

4、1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

【例1】【分数裂项基本型】求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.

则 Sn=1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)…+(1/n）- [1/(n+1)]（裂项求和）

= 1-1/(n+1)

【例2】【整数裂项基本型】求数列an=n(n+1) 的前n项和.

解：an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项）

则 Sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项求和）

1= [n(n+1)(n+2)-2]/3

原式=1/3 [（1-1/4）+（1/4-1/7）+（1/7-1/10）+……+（1/-1/94）]=1/3(11/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)；n·n!=(n+1)!-n!；1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)]；-1/94)=31/94。

求常见裂项相消公式比如1/n(n+1)=1/n-1/n+1

九、15、等数列{an}中，若m+n=p+q，则

你好!数学之美团为你解答（1）1/

[n(n+k)

1/k

[1/n

-1/(n+k)

],k≠0当k=1时,就是你那个公式另一种形式

1/

(n+a)(n+b)

=1/(b-a)

[1/(n+a)

-1/(n+b)

]（2）1/

+√(n+k)

1/k

[√(n+k)

－√n

]或

1/

[√(n+a)三次方分分裂项公式：

+√(n+b)

[√(n+a)

-√(n-b)

]/

-b)（3）1/[n(n+1)(n+2)]

=1/2

[1/

n(n+1)

-1/(n+1)(n+2)

]（4）nn!

=(n+1)!

-n!

（注：!

表示阶乘）（5）

C(n,m-1)

=C(n+1,m)

-C(n,m)

数列求和裂项相消法

裂项相消法是数列求和中第二大求和方法，其使用频率仅此于错位相减法。

裂项相消法是高中数列求和的方法之一，它是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.但是我个人认为，把一个超前的知识完完全全用比方说大学的定义、讲解来呈现是非常低效的，或许看上去很高大上，看起来非常的复杂但是事实上在实际高中应用的过程中，往往不需要这么复杂的结论，比如说数列的不动点。 裂项相消法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。

数列求和的方法引入裂项相消法，首先讲解了裂项相消法求和的核心内容：如何裂项与消项，通过讲解例题使学生理解和掌握，然后通过变式训练，加强巩固，并且重点说明消项的方法和技巧，归纳总结常见的裂项相消法求和的公式，让学生更系统地掌握裂项的方法。

总结裂项相消类型：

裂项相消法的概念不难，过程也简单，其难点主要在于如何判断来使用裂项相消法。裂项相消法的八大类型：等型、无理行、指数型、对数型。三角函数型、阶乘和组合数公式型、抽象型、混合型。

裂项相消法是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。比如1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]、1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n(a-1)-1/(2n+1)]。

此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。余下的项具有如下的特点，余下的项前后的位置前后是对称的。余下的项前后的正负性是相反。

所谓裂项相消，“裂项”很关键，但是重点还是在“相消”上！这一点大家需特别注意！

分数裂项的公式是什么？

分数裂项法基本公式是：

只要是分式数列求和可采用裂项法，裂项的方法是用分母中较小因式的倒数减去较大因式的倒数,通分后与原通项公式相比较就可以得到所需要的常数。通项分解（裂项）倍数的关系。通常用于代数，分数，有时候也用于整数。

分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” 。分母上几个因数间的是一个定值裂型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”。

分数裂项公式是指将一个分数拆分成多个分数之和的公式。一般来说，分数裂项公式有多种形式，具体的公式取决于问题的具体情况。以下是一些常见的分数裂项公式：

1. 平均分配：将一个分数平均分成若干个相等的分数。例如，将一个分数a/b平均分成n份，则每份为(a/b)/n。

2. 分数拆分：将一个分数拆分成若干个不相等的分数。例如，将一个分数a/b拆分成两个分数，可以表示为a/b = x/c + y/d，其中x、y、c、d为整数。

3. 部分分数拆分：将一个分数拆分成若干个部分分数之和。例如，将一个真分数a/b拆分成部分分数，可以表示为a/b = A + B + C + ...，其中A、B、C为整数部分，且A < B < C。

需要注意的是，分数裂项的具体公式取决于问题的具体情况，可以根据具体的题目进行推导和应用。

分数裂项是指将一个分式的分子或分母拆分成两个或多个部分的过程。

在代数中，有一些常见的分数裂项公式，其中一些重要的包括：1、先将算式中的项进行拆分，拆成两个或多个数字单位的和或，拆分后的项可以前后抵消。

通分分裂项公式（平方公式）：

这个公式适用于将一个平方分解为两个因子的情况。

完全平方分裂项公式：

a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2

这个公式适用于将一个完全平方和分解为两个因子的情况。

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

这个公式适用于将一个立方分解为两个因子的情况。

以上只是一些常见的分数裂项公式，根据具体的问题，可能会有其他的分数裂项公式或技巧。

分数裂项（也称部分分式分解）是一种将一个分数拆分为若干个较简单分数之和的方法。它可以用来简化复杂的分式运算或求解分式方程。

\frac{N(x)}{D(x)} = \frac{A_1}{(x - r_1)} + \frac{A_2}{(x - r_2)} + \ldots + \frac{A_n}{(x - r_n)}

其中，N(x)和D(x)是多项式，r1, r2, ..., rn是D(x)的根（可能有重复根），A1, A2, ..., An是待求常数。

要确定每个常数Ai，可以使用以下步骤：

1. 将分数裂项的右侧相加并化简为单个分式。

2. 将等式两边的分母相乘并展开，得到一个多项式等式。

3. 对应多项式等式中的相同次数的项，比较系数，得到一组方程。

4. 解（6）1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)]这组方程，求得每个常数Ai的值。

需要注意的是，分数裂项的公式可以根据具体的分数形式和多项式的因式分解形式有所不同。因此，具体的分数裂项公式可能会根据问题的不同而变化。