二阶微分方程的通解公式三种(二阶齐次微分方程通解和特解)

二阶微分方程的通解公式

二阶微分方程的通解公式：y''+py'+qy=f(x)，其中p，q是实常数。

二阶微分方程的通解公式三种(二阶齐次微分方程通解和特解)

自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的。若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。

举例

求微分方程：y"-4y'+3y=(x^2-1)e^(3x)的通解。

步，先求特征方程r^2-4r+3=0的根，解得r1=3, r2=1。因此齐次方程的通解是Y=C1e^(3x)+C2e^x。

又λ=3是特征方程的一个根，因此设非齐次方程的特解y=(ax^3+bx^2+cx)e^(3x)，代入原微分方程，可得6ax+2b+2(3ax^2+2bx+c)=x^2-1. 化简得6ax^2+(6a+4b)x+(2b+2c)=x^2-1，因此a=1/6, b=-1/4, c=-1/4。原微分方程的通解为：y=C1e^(3x)+C2e^x+(x^3/6-x^2/4-x/4)e^(3x)。

二阶微分方程通解公式，就是有特征方程的那个

举一个简单的例子：

y''+3y'+2y = 1 (1)

其对应的齐次方程的特征方程为：

s^2+3s+2=0 (2)

因式分解： (s+1)(s+2)=0 (3)

两个根为： s1=-1 s2=-2 (4)

齐次方程的通解：

y1=ae^(-x)+be^(-2x) (5)

非奇方程(1)的特解：

y = 1/2 (6)

于是（1）的通解为：

y=y1+y = 1/2 + ae^(-x) +be^(-2x) (7)

其中：a、b由初始条件确定。

二阶微分方程的3种通解公式是什么？

种：由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x均为齐方程的解，故可得方程的通解是：y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x。

第二种：通解是一个解集……包含了所有符合这个方程的解；n阶微分方程就带有n个常数，与是否线性无关；通解只有一个，但是表达形式可能不同，y=C1y1(x)+C2y2(x)是通解的话y=C1y1(x)+C2y2(x)+y1也是通解，但y=C1y1就是特解。

第三种：先求对应的齐次方程2y''+y'-y=0的通解。

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微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。

常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。

若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。

偏微分方程常见的问题以边界值问题为主，不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。

二阶微分方程的通解公式是什么?

解：齐次方程y''-2y'-3y=0的特征方程是λ-2λ-3=0，解得：

λ1=3，λ2=-1。

所以齐次方程得通解是：y=ae^(3x)+be^(-x)。

只需求其特解y。

根据右边4e^x，可设y=ke^x，代入左边得：ke^x-2ke^x-3ke^x=4e^x。

解得k=-1。

特征根方程r^2+r-2=0r=2，-1y=Ae^(2x)+Be^(-x)。

然后找特解待定系数，因为右端项为x^2猜测：

x^2-2ax^2+(2a-2b)x+2a+b-2c=x^2-2a=12a-2b=02a+b-2c=0a=-1/2。

可降阶方程

在有些情况下，可以通过适当的变量代换，把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。具有这种性质的微分方程称为可降阶的微分方程，相应的求解方法称为降阶法。下面介绍三种容易用降阶法求解的二阶微分方程。

y''=f(x)型

方程特点：右端仅含有自变量x，逐次积分即可得到通解，对二阶以上的微分方程也可类似求解。

例1 求方程y''=e2x-cosx的通解。

二阶微分方程的通解公式三种(二阶齐次微分方程通解和特解)

二阶微分方程的3种通解公式是什么？

种：由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x均为齐方程的解，故可得方程的通解是：y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x。

第二种：通解是一个解集……包含了所有符合这个方程的解；n阶微分方程就带有n个常数，与是否线性无关。

定义

设函数y=f(x)在x的邻域内有定义，x及x+Δx在此区间内。如果函数的增量Δy=f(x+Δx)-f(x)可表示为Δy=AΔx+o(Δx)（其中A是不不随Δx改变的常量，但A可以随x改变），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小（注：o读作奥密克戎，希腊字母）那么称函数f(x)在点x是可微的。

且AΔx称作函数在点x相应于因变量增量Δy的微分，记作dy，即dy=AΔx。函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）。